Feuilleton mathématique Alain

effectivement P(t) = P₀ e^at
la variable t peut indiquer de façon traditionnelle le temps, dans ce cas
la progression géométrique ou exponentielle qui en résulte peut représenter l'évolution d'une population.

Thomas Malthus, pasteur anglican du XVIII^esiècle a étudié l'évolution des populations qui sans aucune limite de territoire peuvent se retrouver en évolution perpétuelle jusqu'à une limite infinie (insectes, bactérie dans les boites de petri...).
Ses travaux ont été largement controversés car ils ont malencontreusement servi à la frilosité des partages des ressources entre bourgeois et populations pauvres et de l’émergence de l'idée du contrôle des naissances.
Alors à ce niveau, il faut distinguer les ensembles continus et les ensembles discrets. Pour une population par exemple, si l'on compte le nombre d'individus, cela donne une valeur entière dans un ensemble discret ; si l'on compte une masse corporelle par exemple une population de poissons en kilogrammes, on peut considérer qu'il s'agit d'un ensemble continu.
Mais sur l'ensemble de départ, le temps peut lui aussi ne pas être continu ; on peut décompter la population à chaque saison et l'ensemble de départ devient lui aussi discret.
En temps discret, l'évolution P_n+1 - P_n= aP_n
soit P_n+1=P_n (a + 1)
car la dérivée P' peut être assimilée en temps discret à P'= ( P_n+1 - P_n ) / (n + 1 - n) = P_n+1 - P_n
on prendra P₀ > 0 et on cherche à conserver P_n > 0 ;   ∀ n
vérifier au passage quelles sont les valeurs de a qui génèrent une population constante, en croissance ou en décroissance ; et vérifier si elles sont les mêmes en temps continu et en temps discret.