Feuilleton mathématique Alain

Ok j'ai compris et je suis d'accord
toute la partie ci-dessous est donc fausse
le nombre de solutions ne change pas mais ce ne sont pas des rationnels et bien des réels.
trés bonne remarque  

alain a écrit:
x peut s'écrire donc en base 2 sous la forme par exemple 0.010011101 (9 "décimales" dans cet exemple) avec des 0 et des 1 qui vont dépendre sur chaque "décimale" si l'on prend + ou - dans le choix à chaque étape. On comprend bien que si l'on multiplie ce nombre 9 fois par 2 on obtient 1.
On s'aperçoit donc que sur l'intervalle 0 à 1 il peut y avoir une infinité de valeurs amenant la mortalité définitive, que ces valeurs sont toutes différentes et que ce sont des "fractions" de 2 soit k/2ⁿ avec k < 2ⁿ et k entier
ce sont donc des rationnels.

alain a écrit:je crois qu'un quiproquo s'installe sur une notation et c'est la faute du systéme de notation :
lorsque j'ecris 1/2(x) il s'agit de x/2 et non 1/2x
à chaque fois que l'on trouve 1/2(quelque chose), ce quelque chose est bien au numérateur
j'admet que cela prête à confusion mais j'aurais écrit 1/(2x) si j'avais voulu le mettre au dénominateur ; la notation (x)/2 pose le probléme que si le (x) est quelque chose de trés long avec des parenthéses multiples le /2 se retrouve à la fin et c'est moins lisible
j'aurais pu aussi remplacer par 0,5 mais je voulais mettre en évidence les puissances de 2

si j'ai bien compris la question !

J'ai bien compris cela, mais les racines carrées empêchent que les réponses soient des puissances entières de 2, non?

Miléna a écrit:Alors, moi je vais faire l'exercice simple.

On cherche :
Uq = r Uq(1 - Uq), avec 0 < r < 4

On peut simplifier par uq, parce qu'on sait que la fonction est toujours strictement comprise entre 0 et 1.

On obtient donc 1 = r (1 - Uq), et donc c'est effectivement très facile de trouver que les points fixes sont égaux à 1 - 1/r ;
Soit : Uq = 1 - 1/r

On se rend compte que lorsque 0 < r < 1, 1/r > 1, ce qui induit que Uq < 0 ; ce qui est impossible, car 0 < Uq < 1.


Donc, si on veut des solutions à l'équation Uq = 1 - 1/r ; il faut que 1 ≤ r < 4

ok bien vu, il y a juste que si l'on omet la solution Uq = 0 alors il faut omettre la solution r = 1 donc 1 < r < 4
Uq peut s'écrire aussi (r-1)/r , on peut aussi rechercher quelle est la valeur qui amène
au point stable soit Uq = r Uk(1 - Uk) qui amène en prenant Uq = (r-1)/r et aprés développement et plusieurs déterminants d'équation à la double solution de Uk = Uq ou bien Uk = 1/r
donc 1/r amène bien au point stable après une itération et lui même est amené par une autre valeur, il y a ici une infinité de valeurs qui amènent au point stable de manière brutale (pas d'approche lente progressive)

on ne sait pas encore comment se comporte la suite à proximité d'un point stable ; ce que l'on sait c'est que la valeur exacte du point stable peut être obtenue à partir d'autres valeurs lointaines après des itérations.

je crois qu'un quiproquo s'installe sur une notation et c'est la faute du systéme de notation :
lorsque j'ecris 1/2(x) il s'agit de x/2 et non 1/2x
à chaque fois que l'on trouve 1/2(quelque chose), ce quelque chose est bien au numérateur
j'admet que cela prête à confusion mais j'aurais écrit 1/(2x) si j'avais voulu le mettre au dénominateur ; la notation (x)/2 pose le probléme que si le (x) est quelque chose de trés long avec des parenthéses multiples le /2 se retrouve à la fin et c'est moins lisible
j'aurais pu aussi remplacer par 0,5 mais je voulais mettre en évidence les puissances de 2

si j'ai bien compris la question !

"Si on recherche les cas amenant une mortalité définitive x=0 cela revient à chercher
les valeurs 1/2 +/- 1/2(√((1/2)+/- 1/2(√((1/2)+/- 1/2(√((1/2)+/- 1/2...+/- 1/2(√((1/2)+/- 1/2)
ce qui peut s'ecrire aussi sous la forme
2^-1 +/- 2^-1(√((2^-1)+/- 2^-1(√((2^-1)+/- 2^-1(√((2^-1)+/- 2^-1...+/- 2^-1(√((2^-1)+/- 2^-1)
selon les choix entre + et - la formule se simplifie pour voir apparaitre des puissances de 2 bien formée en 2^-n
"

Cela me semble plus compliqué que cela : en remarquant que

f^-n (0) = 1/2 +/- 1/2√(f^-n+1 (0))
Ce qui ne donne pas de puissances entières négatives de 2
Par exemple, pour f<sup>-3

on trouve 1/2 lorsque    f-2    vaut 0
1/2 +/- 1/(2 √2)  lorsque   f-2   vaut 1/2

A moins que je n'aie pas compris quelquechose</sup>

Une mortalité correspond à une valeur qui atteint π/2, la valeur de départ était alors une fraction 2kπ/2ⁿ⁺¹ avec k entier
soit kπ/2ⁿ

Je n'ai pas suivi cette partie.
Je n'ai pas encore lu la suite sur f^-n.
Ce sera pour plus tard...

Alors, moi je vais faire l'exercice simple.

On cherche :
Uq = r Uq(1 - Uq), avec 0 < r < 4

On peut simplifier par uq, parce qu'on sait que la fonction est toujours strictement comprise entre 0 et 1.

On obtient donc 1 = r (1 - Uq), et donc c'est effectivement très facile de trouver que les points fixes sont égaux à 1 - 1/r ;
Soit : Uq = 1 - 1/r

On se rend compte que lorsque 0 < r < 1, 1/r > 1, ce qui induit que Uq < 0 ; ce qui est impossible, car 0 < Uq < 1.


Donc, si on veut des solutions à l'équation Uq = 1 - 1/r ; il faut que 1 ≤ r < 4

Comme la question de la semaine est un peu facile, je rajoute un petit défi pour lequel je n'ai pas encore tout à fait le résultat bien verrouillé.
Les différentes fonctions fⁿ sont très difficiles à calculer mais si on conserve la factorisation, il est possible de démontrer par récurrence ∀n que les racines du polynôme sont toujours au nombre de 2 (x=0 et x=1). C'est à dire que après avoir divisé le polynôme par x² - x , le polynôme restant ne possède aucune racine réelle et qu'il peut donc s’écrire par une factorisation de autant de polynômes de second degré à déterminant négatif. Tout ceci en posant bien 0 < r < 4.
Voilà, c'est une piste mais d'autres méthodes peuvent être tentées ; mais le résultat est certain : il n'y a pas d'autres racines ; contrairement à la dérivée qui en possède énormément (2ⁿ-1) peut être démontré aussi par la même méthode à mon avis. Ce qui est assez magique est que cette fonction va monter et descendre 2ⁿ-1 fois sans jamais atteindre 0 ou 1, lorsque n augmente beaucoup la courbe est particuliérement atypique.

ce qui suit est encore un peu expérimental et les explications sont bancales, j'en suis désolé et j'y travaille pour améliorer la clarté.  N'hesitez pas à me dire les points obscurs, les passages faux   ou alors ce qui est assez clair  
.........................................................................
on va fixer pour un long moment r < 4 mais avant de procéder ainsi on peut s’intéresser un tout petit peu au cas r = 4 (on le développera plus tard) pour ce qu'il peut engendrer sur nos formules fⁿ et f^-n
On va surnommer une valeur amenant une mortalité définitive à terme : valeur "létale".

tout d'abord fⁿ
la formule f(x) = 4x(1-x) peut voir apparaitre une simplification astucieuse
on pose h(x) = sin²(xπ/2)     ( en radians bien sur)
on pose la fonction g(x) = 4*sin²(xπ/2)(1-sin²(xπ/2))
et au passage g(x)=f(x)°h(x)
avec 0< x <1 donc  0 < h(x) <1 et 0 < g(x) <1

on simplifie g(x):
g(x) = 4*sin²(xπ/2)(1-sin²(xπ/2)) = 4*sin²(xπ/2)(cos²(xπ/2))
= sin²(2xπ/2) = h(2x)
ce qui donne f(x)°h(x)=h(2x)
c'est à dire que f(x)°h(2x)=h(4x)=f(x)°f(x)°h(x)=f²(x)°h(x)
et par récurrence
et fⁿ(x)°h(x) = h(2ⁿx)
et fⁿ(x) = h(2ⁿx)° h^-1(x)
avec h^-1(x) = (2/π)Arcsin(+/-√x)
amène à fⁿ(x) = h((2ⁿ⁺¹/π)Arcsin(+/-√x))
= (sin(2ⁿArcsin(+/-√x)))²
et devient donc calculable
il est à noter que Arcsin(-y)= - Arcsin(y) vu que la fonction est impaire
la fonction sinus est impaire aussi mais sin² est paire donc au final il ne fait aucune difference entre le choix du signe +/-√x
et comme 0 < x < 1 alors √x existe et Arcsin(+/-√x) existe aussi
les solutions successives de fⁿ(x) consistent à partir d'un angle de départ à déterminer dans le quadrant entre 0 et π/2, puis à le doubler, puis à le transformer si besoin en un autre angle à sinus égal mais dans le quadrant entre 0 et π/2, puis le doubler etc, et procéder ainsi à chaque étape .
On s'aperçoit que si l'on obtient par cette méthode une valeur déjà acquise par le passé alors s'établit un cycle. Restera à démontrer que aucun cycle n'est possible. (plus tard).
Une mortalité correspond à une valeur qui atteint π/2, la valeur de départ était alors une fraction 2kπ/2ⁿ⁺¹ avec k entier
soit kπ/2ⁿ

Pour f^-n
on a obtenu f^-1=1/2 +/- (√(1/4-x/4))=1/2 +/- 1/2(√(1-x))
donne f^-2=1/2 +/- 1/2(√((1-1/2)+/- 1/2(√(1-x))) = 1/2 +/- 1/2(√((1/2)+/- 1/2(√(1-x)))
Il faut l’écrire à la main pour bien s'apercevoir des racines imbriquées qui peuvent s'étendre à l'infini.
A chaque étape, 2 images sont possibles pour un antécédent c'est à dire que pour une valeur x, issue de n étapes peut correspondre 2ⁿ antécédents possibles.
Si on recherche les cas amenant une mortalité définitive x=0 cela revient à chercher
les valeurs 1/2 +/- 1/2(√((1/2)+/- 1/2(√((1/2)+/- 1/2(√((1/2)+/- 1/2...+/- 1/2(√((1/2)+/- 1/2)
ce qui peut s'ecrire aussi sous la forme
2^-1 +/- 2^-1(√((2^-1)+/- 2^-1(√((2^-1)+/- 2^-1(√((2^-1)+/- 2^-1...+/- 2^-1(√((2^-1)+/- 2^-1)
selon les choix entre + et - la formule se simplifie pour voir apparaitre des puissances de 2 bien formée en 2^-n
Comprenons bien que la valeur finale est la mortalité donc égale à 0, on appelle x une valeur du passé n étapes avant la mortalité. Si l'on est devant une valeur x qui va amener la mortalité dans 9 étapes par exemple, cela veut dire qu'il existe 511 autres valeurs qui en ferait autant mais on considère seulement cette valeur x seulement.
x peut s'écrire donc en base 2 sous la forme par exemple 0.010011101 (9 "décimales" dans cet exemple) avec des 0 et des 1 qui vont dépendre sur chaque "décimale" si l'on prend + ou - dans le choix à chaque étape. On comprend bien que si l'on multiplie ce nombre 9 fois par 2 on obtient 1.
On s'aperçoit donc que sur l'intervalle 0 à 1 il peut y avoir une infinité de valeurs amenant la mortalité définitive, que ces valeurs sont toutes différentes et que ce sont des "fractions" de 2 soit k/2ⁿ avec k < 2ⁿ et k entier
ce sont donc des rationnels.
A partir d'une valeur x, va se produire alors un parcours à chaque étape où la solution suivante va se trouver soit dans la premiére moitié (entre 0 et 1/2) soit dans la deuxième. Il suffit pour cela de lire le nombre "décimal" en base 2 pour avoir la liste (un 0 correspond à la première moitié et un 1 correspond à la deuxième moitié. on pourra par exemple coder 0.010011101 par LRLLRRRLR avec L pour left (première moitié) et R pour right.
On peut supposer ainsi que en ce qui concerne les valeurs létales, il n'y a aucun cycle possible. Les autres valeurs (rationnels issus de diviseurs différents de multiples de 2 et nombres réels) ne peuvent pas être létales mais la démonstration qu'il ne peut pas y avoir de cycles n'est pas pour autant acquise. (on verra plus tard que des cycles sont possibles mais pas avec r = 4)

Stephen Smale mathématicien américain du XXe siècle a utilisé cet exemple pour argumenter sa théorie sur la sensibilité d'un système dynamique aux conditions initiales qui amène comme dans ce cas si l'on fait suffisamment d'étape à diverger fortement à un moment donné (image du battement d'aile d'un papillon qui finit par déclencher une tempête très longtemps après et très loin du point initial). Il a obtenu la médaille Fields en 1966 et il a établit entre autre la liste des 18 problèmes mathématiques à résoudre dans le XXIe siècle dont l’hypothèse de Riemann. Plus proche de notre cas, il a proposé le principe du fer à cheval qui est un cylindre topologique qui lorsque l'on le repli en deux prend la forme d'un fer à cheval, que l'on va écraser, puis étiré et que l'on repli à nouveau par étapes successives, on se retrouve à mélanger les particules du solide de telles sorte que les particules voisines d'une particule proviennent d'une position initiale fortement lointaine et que cela se mélange si fortement que cela devient imprévisible (hormis les bouts du tube qui restent sur un bout).


On peut clore momentanément la considération de r = 4 et reprendre l'étude de la suite avec 0 < r < 4
On va désormais s’intéresser aux points fixes de la suite ; il faut calculer quels sont les points fixes de la suite avec éventuellement des variations selon les valeurs de r.
Pour rappel la suite Un+1 = r Un (1 - Un)
si on appelle Uq point fixe alors Uq = r Uq(1 - Uq)

Tout est juste. Et pour la mortalité définitive qui pourrait se produire pour r=4 avec une infinité de valeurs que l'on pourra étudier plus tard, par exemple avec x= 1/2 qui amène a x=1 puis x =0 . Cette valeur de 1/2 pouvant être amenée par deux autres valeurs.
Il suffit donc d'imposer  0 < r < 4

C'est OK pour f²(x) et f³(x).
Pour f^-1(x), il me semble que la condition x < r/4 est requise, et que 2 solutions sont alors possibles : celle de Miléna et 1/2 - (√(1/4-x/r)).
Par contre, je ne suis pas les dernières remarques d'Alain
"On va aussi chercher à démontrer pour quelles valeurs de r , cette suite va se poursuivre sans jamais atteindre zéro (qui est la mortalité définitive) hormis les valeurs létales que nous connaissons de x = 0 et x = 1 donc pour tout 0 < x < 1 , il faut trouver l'ensemble r vérifiant une vie garantie à l'infini."
Il me semble qu'elle ne peut pas atteindre 0, ou je n'ai pas comptis quelquechose.

Si mes calculs sont corrects,  f^-1(x) = (√(1/4-x/r))+1/2

Donc effectivement la fonction présente un maximum pour x = 1/2 , elle est nulle pour x = 0 et x =1.
considérant la suite, logiquement si la population tombe à zéro, elle va y demeurer définitivement.
étant donné que cette fonction représente la suite, il est intéressant d'essayer de la présenter sous la forme explicite et non sous sa forme de récurrence.
Pour cela, comme la factorisation ne donne rien on s'est proposé de calculer f²(x) et f³(x) espérant déceler une ouverture d'écriture explicite. Les expressions de f²(x) et f³(x) représentent les valeurs qui seront obtenues à la deuxiéme récurrence et à la troisième récurrence.

on trouve f(x) = rx - rx²
f²(x) = x (r²) + x²(-r³ - r²) +x³(2r³) + x⁴(-r³)
f³(x) = xr³ + x²(-r⁵ -r⁴ - r³) + x³(2r⁶ + 2r⁵ + 2r⁴) + x⁴(-r⁷ - 6r⁶ -r⁵ - r⁴) + x⁵(4r⁷ + 6r⁶) + x⁶(-6r⁷ - 2r⁶) + x⁷(4r⁷) + x⁸(-r⁷)

manifestement, il n'y a aucune piste de simplification, la factorisation par r³ et par x ne permettra pas d'identifier les racines pour la factorisation. On peut même être certain que la factorisation ne sera pas possible car la fonction n'admet que deux racines toujours les mêmes (0 et 1) ( pour r<4) , donc le polynôme n'est pas factorisable au delà (hors valeurs en complexes).
On s'aperçoit également que le degré du polynôme double à chaque récurrence de sorte que le calcul de f⁴ devient délicat et inutile puisqu'il est plus simple de passer par les solutions intermédiaires.

A partir d'une valeur U_n on va appeller image le résultat U_n+1 et antécédent la valeur U_n-1
Pour poursuivre l'étude, on aura aussi besoin de connaitre l’expression de f^-1
si U_n = f(U_n-1)  on a U_n-1 = f^-1(U_n) il faut trouver l'expression et voir si l'antecedent est unique ou pas.
On va aussi chercher à démontrer pour quelles valeurs de r , cette suite va se poursuivre sans jamais atteindre zéro (qui est la mortalité définitive) hormis les valeurs létales que nous connaissons de x = 0 et x = 1 donc pour tout 0 < x < 1 , il faut trouver l'ensemble r vérifiant une vie garantie à l'infini.

pour vérifier les formulations de f² et f³, on pourra choisir x =1 et r=1
les deux résultats doivent aboutir à 0
L'exercice consiste à démontrer de quelle manière les degrés de l'équation évoluent et aussi que la mise en forme avec Un = g(U₀) est certainement vaine.

Effectivement il y a une erreur, il faut reprendre le temps discret (plus bas)
et les réponses données sont exactes.  
la formule exacte pour le temps continu est :
P'(n) = P(n).(a - bP(n))
ce qui a été simplifié en P'(n) = aP(n).(1 - (b/a)P(n))
et avec K = a/b : P'(n) = aP(n).(1 - P(n)/K)
K, étant d'un ordre de grandeur semblable à P, il peut donc être un "grand" nombre, car b (au dénominateur) multiplicateur de P comme mécanisme de frein est dans ce cas forcement un "petit" nombre, l'ordre de grandeur de b n'est pas le même que celui de a.
a est de l'ordre de grandeur de 10⁰ à 10¹
la résolution amène à l'équation déjà évoquée P = K/(1+(K-P0)∙e^-at/P0)
On peut rajouter que si a est nul, la division par a devient impossible et c'est la première formule qui doit être employée.

pour le temps discret dP(n)/dn = P(n+1) - P(n) = P(n).(a - bP(n))
⇔ P(n+1) = P(n).(a - bP(n)) + P(n) = P(n).((a +1) - bP(n))
et avec K' = (a+1)/b s'écrit P(n+1) = (a+1)P(n).(1 - P(n)/K')
en divisant par K' (on se retrouve avec des valeurs relatives entre 0 et 1): P(n+1)/K' = ((a+1)P(n)/K').(1 - P(n)/K')
en posant U(n) = P(n)/K' : U(n+1) = (a+1)U(n).(1-U(n))
et en posant r = a+1 : U(n+1) = rU(n).(1-U(n))
fonctionne comme on l'a vu précédemment si a ≠ -1 sinon on ne peut pas factoriser avec a+1
et donc r ≠ 0
bien évidemment ce modèle de croissance est très simpliste par rapport aux conditions de vie sur un territoire , il ne peut pas, comme on le verra, s'écrire en fonction de P₀ ; mais il apporte une réponse à un phénomène observé à plusieurs reprises de populations qui prenaient des valeurs imprévisibles d'une année à l'autre notamment observée sur des scarabées, des castors...

Ces termes r et K sont utilisés pour déterminer la stratégie de développement des espèces ; lorsque les conditions de vie sont prévisibles, la natalité est faible, la fécondité est faible et les espèces prennent soin de leur progéniture (exemples mammifères, oiseaux) c'est la stratégie K. lorsque les conditions de vie sont instables avec des territoires qui peuvent se restreindre ou des ressources qui peuvent manquer alors la natalité est forte, la progéniture est livrée à elle même et la mortalité dans ce cas compense la forte natalité (exemples : insectes, arthropodes, araignées, batraciens) c'est la stratégie r.

alain a écrit:oui, les coordonnées du point d'inflexion proposées sont exactes.  A partir de ce point les mécanismes de frein deviennent plus fort que les mécanismes de croissance.

En temps discret, l'équation différentielle P'(t)=aP(t).(1 - P(t)/K) peut s'écrire :
P(n+1) - P(n) = aP(n).(1 - P(n)/K)
⇔ P(n+1) = (a + 1).P(n).(1 - P(n)/K) on divise ensuite tout par K
⇔ P(n+1)/K = (a + 1).(P(n)/K).(1 - P(n)/K) on pose U(n) = P(n)/K
⇔ U(n+1) = (a  + 1)U(n)(1 - U(n)) on pose r = a+1
⇔ U(n+1) = rU(n)(1 - U(n)) avec pour avoir une croissance a>0 donc r>1
Il s'agit de la suite logistique énoncée et nommée par Verhulst qui est, comme on va le voir plus tard, un des plus incroyable objet mathématique de l'histoire.
La suite logistique hormis ses propriétés mathématique a été utilisée comme un modèle simple d'évolution des populations de poissons et gestion des pêcheries par le canadien William Ricker en 1954.

La valeur P(n) peut être un réel si l'on considère la masse corporelle de la population et non plus le nombre d'individu.
La valeur U(n) = P(n)/K est donc une valeur comprise entre 0 et 1 représente le ratio d'occupation de l'espace par la population. On oublie pour l'instant les valeurs extrêmes 0 et 1.

Pour s’intéresser à l'objet mathématique , on va le simplifier en f(x)=rx(1-x)= rx - rx²
Il faut étudier cette courbe, sa dérivée, sa forme entre 0 et 1, le point maximal, l'impact des valeurs de r avec  (r>1).
On aura besoin aussi de connaitre U(n+2) voire U(n+3) en fonction de U(n) ; il faut donc calculer f∘f(x) que l'on appelle f²(x) et aussi f³(x)
Le calcul de  f³(x) est un véritable défi.

J'ai dû rater quelquechose, mais je ne comprends pas le résultat de la première équivalence.
Pour la fonction f(x), elle croit puis décroit, le maximum de r/4 étant en x = 1/2. f(0) =f(1) = 0.
Pour f² et f³(x), ce sera pour plus tard.

oui, les coordonnées du point d'inflexion proposées sont exactes.  A partir de ce point les mécanismes de frein deviennent plus fort que les mécanismes de croissance.

En temps discret, l'équation différentielle P'(t)=aP(t).(1 - P(t)/K) peut s'écrire :
P(n+1) - P(n) = aP(n).(1 - P(n)/K)
⇔ P(n+1) = (a + 1).P(n).(1 - P(n)/K) on divise ensuite tout par K
⇔ P(n+1)/K = (a + 1).(P(n)/K).(1 - P(n)/K) on pose U(n) = P(n)/K
⇔ U(n+1) = (a  + 1)U(n)(1 - U(n)) on pose r = a+1
⇔ U(n+1) = rU(n)(1 - U(n)) avec pour avoir une croissance a>0 donc r>1
Il s'agit de la suite logistique énoncée et nommée par Verhulst qui est, comme on va le voir plus tard, un des plus incroyable objet mathématique de l'histoire.
La suite logistique hormis ses propriétés mathématique a été utilisée comme un modèle simple d'évolution des populations de poissons et gestion des pêcheries par le canadien William Ricker en 1954.



La valeur P(n) peut être un réel si l'on considère la masse corporelle de la population et non plus le nombre d'individu.
La valeur U(n) = P(n)/K est donc une valeur comprise entre 0 et 1 représente le ratio d'occupation de l'espace par la population. On oublie pour l'instant les valeurs extrêmes 0 et 1.

Pour s’intéresser à l'objet mathématique , on va le simplifier en f(x)=rx(1-x)= rx - rx²
Il faut étudier cette courbe, sa dérivée, sa forme entre 0 et 1, le point maximal, l'impact des valeurs de r avec  (r>1).
On aura besoin aussi de connaitre U(n+2) voire U(n+3) en fonction de U(n) ; il faut donc calculer f∘f(x) que l'on appelle f²(x) et aussi f³(x)
Le calcul de  f³(x) est un véritable défi.

bonjour mserour,   merci pour cette contribution
j'aime beaucoup l’exponentielle affine
en ^(a - bt)
"a" représente en fait le lnλ que l'on a dans l'autre formule
et "b" représente le a

je suis un peu moins d'accord sur le facteur général de l'équation P₀.K,
ou alors K représente non pas la population max mais le coefficient de multiplication que peut espérer la population initiale, car lorsque t -> +∞ alors dans ce cas P(t) -> P₀.K

la fonction affine (a - bP) existe bien dans les calculs de Verhulst comme une résultante des coefficients de mortalité et de natalité par contre je n'ai pas trouvé comment il parvenait à passer du m(t) et n(t) au a et b.
a étant bien un coefficient de croissance et b étant bien un frein mais normalement on doit retrouver aprés l'équation differentielle avec "a" étant le facteur de la variable t.

à voir mserour si ta source confirme bien la formule ou bien si il est expliqué comment on y parvient

Coucou,

J'ai perdu le fil pour la partie maths (c'est loin tout ça!), mais peut-être que je peux amener une précision sur la partie écologie/dynamique des populations:
Sur la courbe de Verhulst (considérée dans des conditions de labo, espèce unique+ressources limitées), lorsque N (nombre d'individus) tend vers K (capacité max du milieu ou stock limite), on a:

N(t) = N0 . K / (1 + e^a-bt)

avec a -> coeff d'accroissement et b -> frein intraspécifique

Et c'est un peu tout ce que je peux dire, je sais pas si ça aide...!

Après il y a des modélisations bien marrantes sur les populations de deux espèces, les rapports hôtes-parasites, etc.

Oui, je valide pour l'abscisse.

Par contre, tu as oublié de donner l'ordonnée.

Les coordonnées complètes sont : ((ln λ)/a ; 1/2)

alain a écrit:c'est exact β = (K - P₀)/K∙P₀
la fonction devient P(t) = K/(1+(K-P₀)∙e^-at/P₀)

on va s'attarder une dernière fois sur le temps continu avant de basculer vers le temps discret que l'on conservera très longtemps.

K est un facteur d’échelle que l'on peut choisir momentanément égal à 1 pour simplifier et on fixera a > 0 ; et 0 < P₀ < 1
la fonction devient P(t) = 1/(1+(1-P₀)∙e^-at/P₀)
avec par déduction (1-P₀)/P₀ > 0
cette valeur représente à l'état initial l'espace disponible/espace occupé c'est à dire le nombre de population de départ que l'on peut faire rentrer dans l'espace disponible exemple si P₀ = 0,2 alors cela vaut 4, elle doit être comprise entre 0 et +∞ ; on pourra l'appeler facteur de liberté λ pour simplifier les calculs.
dans le cas où P₀ > 1 , la population décline en rejoignant l'asymptote par le dessus, le facteur de liberté dans ce cas est négatif.

la fonction P(t) est une sigmoïde (forme de S) qui admet deux asymptotes (0 en -∞ et 1 en +∞. Appelée aussi fonction logistique,  (nom donné par Verhulst), elle représente un système qui s'auto-alimente jusqu'à ce qu'il approche de son maximum possible où il se met à ralentir sa croissance. (croissance de population y compris levée des pâtes de cuisson avec la levure, certaines réactions chimiques, combustion d'une buche en bois).

exemple avec λ = 1

Cette application est utilisée pour le calcul des dates de péremption sur les produits alimentaires; la prolifération des bactéries est fortement influencée par la population à l'emballage P₀ recherché très faible à nul; par les conditions de température de conservation "a" et par les contaminations lorsque l'emballage est ouvert ; lorsque la croissance dépasse un certain niveau sur la courbe, cela s'emballe et c'est irrattrapable.
Il y a quelque part un point d'inflexion qui représente le moment où la croissance est la plus forte dont on peut calculer les coordonnées, il faut pour cela calculer le point d'annulation de la dérivée seconde.
Une deuxième méthode fonctionnera peut être en recherchant la valeur max à partir le l'équation différentielle qui a permis de déterminer la fonction.

On obtient    lnλ / a

c'est exact β = (K - P₀)/K∙P₀
la fonction devient P(t) = K/(1+(K-P₀)∙e^-at/P₀)

on va s'attarder une dernière fois sur le temps continu avant de basculer vers le temps discret que l'on conservera très longtemps.

K est un facteur d’échelle que l'on peut choisir momentanément égal à 1 pour simplifier et on fixera a > 0 ; et 0 < P₀ < 1
la fonction devient P(t) = 1/(1+(1-P₀)∙e^-at/P₀)
avec par déduction (1-P₀)/P₀ > 0
cette valeur représente à l'état initial l'espace disponible/espace occupé c'est à dire le nombre de population de départ que l'on peut faire rentrer dans l'espace disponible exemple si P₀ = 0,2 alors cela vaut 4, elle doit être comprise entre 0 et +∞ ; on pourra l'appeler facteur de liberté λ pour simplifier les calculs.
dans le cas où P₀ > 1 , la population décline en rejoignant l'asymptote par le dessus, le facteur de liberté dans ce cas est négatif.

la fonction P(t) est une sigmoïde (forme de S) qui admet deux asymptotes (0 en -∞ et 1 en +∞. Appelée aussi fonction logistique,  (nom donné par Verhulst), elle représente un système qui s'auto-alimente jusqu'à ce qu'il approche de son maximum possible où il se met à ralentir sa croissance. (croissance de population y compris levée des pâtes de cuisson avec la levure, certaines réactions chimiques, combustion d'une buche en bois).

exemple avec λ = 1

Cette application est utilisée pour le calcul des dates de péremption sur les produits alimentaires; la prolifération des bactéries est fortement influencée par la population à l'emballage P₀ recherché très faible à nul; par les conditions de température de conservation "a" et par les contaminations lorsque l'emballage est ouvert ; lorsque la croissance dépasse un certain niveau sur la courbe, cela s'emballe et c'est irrattrapable.
Il y a quelque part un point d'inflexion qui représente le moment où la croissance est la plus forte dont on peut calculer les coordonnées, il faut pour cela calculer le point d'annulation de la dérivée seconde.
Une deuxième méthode fonctionnera peut être en recherchant la valeur max à partir le l'équation différentielle qui a permis de déterminer la fonction.

alain a écrit:

Miléna a écrit:
Alors, cas continu :
Si a > 0 -> P(t) est croissant strictement
Si a = 0 -> P(t) est constante égale à P₀ (et donc P(t) est positive)
Si a < 0 -> P(t) est décroissante strictement
Dans les trois cas, P(t) est positive, car P₀ > 0.

Cas discret :
Si a > -1 -> P_n est croissante strictement
Si a = -1 -> P_n est constante égale à P₀
Si a < -1 -> P_n est décroissante, mais on va arriver dans ce cas à une fonction négative, ce qui ne va pas avec la contrainte

Alors oui c'est correct pour le cas continu mais pas pour le cas discret.
Dans le cas discret, on a P_n+1=P_n (a + 1).
C'est à dire que P_n+1 = P₀ (a + 1)ⁿ⁺¹
ce qui donne une fonction constante pour a = 0, une fonction croissante divergente pour a > 0 , une fonction décroissante convergente vers 0 pour -1 < a < 0 et une fonction qui amène à des P < 0 pour a < -1.
Les deux cas continu et discret se rejoignent donc hormis pour a < -1 ; cette anomalie provient du choix de l'échelle discrète qui est trop large, une dérivée se calcule sur un intervalle voisin de zéro, dans ce cas présent la taille de l'intervalle introduit un fort biais.

La croissance d'une population suit en principe cette règle si elle n'est pas gênée par de la compétition avec une autre espèce ou si le territoire et les ressources deviennent limités. On parle dans ce cas de capacité d'accueil.

Pierre François Verhulst, un mathématicien belge du XIXe siècle a proposé une amélioration de l'équation de Malthus en partant du principe que lorsqu'une population se rapproche de la capacité d'accueil de son territoire, soit la mortalité augmente, soit la natalité diminue.

Différents concepts existent en mathématique pour tenir compte de ces paramètres ; pour la mortalité par exemple,
il peut s'agir de modèles simples qui donnent une seule valeur pour le taux de mortalité comme un pourcentage applicable sur l'ensemble de la population existante pour un pas de temps ; ou bien il existe des modèles plus complexes qui affectent un taux de mortalité pour chaque tranche d'age de la population, les âgés s’éteignant en plus grand nombre que les jeunes, cela permet de parvenir à une répartition fine de la pyramide des ages.
Pour la natalité, le cas est similaire dépendant de la proportion d'individus en age de procréation.
Verhulst considère que le taux de croissance "a" est une résultante de la mortalité et de la natalité qui vont dépendre toutes deux de la population. Ce modèle est encore bien imparfait mais son étude présente de très belles ouvertures.
Lorsque la population augmente alors la natalité augmente mais la mortalité augmente aussi du fait que le territoire disponible diminue.
Le taux de croissance "a" est modifié par a(1 - P/K)
avec P la population et K la population max sur le territoire, tous deux etant positifs
P/K représentant alors le remplissage du territoire en proportion,
et (1 - P/K) représentant la proportion de territoire restant disponible.
Le taux de croissance étant devenu tributaire de la valeur de population, l'équation différentielle devient plus difficile à résoudre et la fonction finale d'évolution plus complexe.
P'(t)=aP(t).(1-P(t)/K)
qui amène à P(t) = K/(1+βKe^-at)
Le coefficient β présente un ensemble de solutions dont une seule peut correspondre à un état initial que l'on appelera P₀
Le petit exercice consiste a réecrire la fonction en remplaçant β par quelque chose en rapport avec P₀ pour que la solution améne à P₀ pour t = 0

β=1/ P₀ -1/K ou β=(K-P₀)/KP₀

Miléna a écrit:
Alors, cas continu :
Si a > 0 -> P(t) est croissant strictement
Si a = 0 -> P(t) est constante égale à P₀ (et donc P(t) est positive)
Si a < 0 -> P(t) est décroissante strictement
Dans les trois cas, P(t) est positive, car P₀ > 0.

Cas discret :
Si a > -1 -> P_n est croissante strictement
Si a = -1 -> P_n est constante égale à P₀
Si a < -1 -> P_n est décroissante, mais on va arriver dans ce cas à une fonction négative, ce qui ne va pas avec la contrainte

Alors oui c'est correct pour le cas continu mais pas pour le cas discret.
Dans le cas discret, on a P_n+1=P_n (a + 1).
C'est à dire que P_n+1 = P₀ (a + 1)ⁿ⁺¹
ce qui donne une fonction constante pour a = 0, une fonction croissante divergente pour a > 0 , une fonction décroissante convergente vers 0 pour -1 < a < 0 et une fonction qui amène à des P < 0 pour a < -1.
Les deux cas continu et discret se rejoignent donc hormis pour a < -1 ; cette anomalie provient du choix de l'échelle discrète qui est trop large, une dérivée se calcule sur un intervalle voisin de zéro, dans ce cas présent la taille de l'intervalle introduit un fort biais.

La croissance d'une population suit en principe cette règle si elle n'est pas gênée par de la compétition avec une autre espèce ou si le territoire et les ressources deviennent limités. On parle dans ce cas de capacité d'accueil.

Pierre François Verhulst, un mathématicien belge du XIXe siècle a proposé une amélioration de l'équation de Malthus en partant du principe que lorsqu'une population se rapproche de la capacité d'accueil de son territoire, soit la mortalité augmente, soit la natalité diminue.

Différents concepts existent en mathématique pour tenir compte de ces paramètres ; pour la mortalité par exemple,
il peut s'agir de modèles simples qui donnent une seule valeur pour le taux de mortalité comme un pourcentage applicable sur l'ensemble de la population existante pour un pas de temps ; ou bien il existe des modèles plus complexes qui affectent un taux de mortalité pour chaque tranche d'age de la population, les âgés s’éteignant en plus grand nombre que les jeunes, cela permet de parvenir à une répartition fine de la pyramide des ages.
Pour la natalité, le cas est similaire dépendant de la proportion d'individus en age de procréation.
Verhulst considère que le taux de croissance "a" est une résultante de la mortalité et de la natalité qui vont dépendre toutes deux de la population. Ce modèle est encore bien imparfait mais son étude présente de très belles ouvertures.
Lorsque la population augmente alors la natalité augmente mais la mortalité augmente aussi du fait que le territoire disponible diminue.
Le taux de croissance "a" est modifié par a(1 - P/K)
avec P la population et K la population max sur le territoire, tous deux etant positifs
P/K représentant alors le remplissage du territoire en proportion,
et (1 - P/K) représentant la proportion de territoire restant disponible.
Le taux de croissance étant devenu tributaire de la valeur de population, l'équation différentielle devient plus difficile à résoudre et la fonction finale d'évolution plus complexe.
P'(t)=aP(t).(1-P(t)/K)
qui amène à P(t) = K/(1+βKe^-at)
Le coefficient β présente un ensemble de solutions dont une seule peut correspondre à un état initial que l'on appelera P₀
Le petit exercice consiste a réecrire la fonction en remplaçant β par quelque chose en rapport avec P₀ pour que la solution améne à P₀ pour t = 0

alain a écrit:

vérifier au passage quelles sont les valeurs de a qui génèrent une population constante, en croissance ou en décroissance ; et vérifier si elles sont les mêmes en temps continu et en temps discret.

Alors, cas continu :
Si a > 0 -> P(t) est croissant strictement
Si a = 0 -> P(t) est constante égale à P₀ (et donc P(t) est positive)
Si a < 0 -> P(t) est décroissante strictement
Dans les trois cas, P(t) est positive, car P₀ > 0.

Cas discret :
Si a > -1 -> P_n est croissante strictement
Si a = -1 -> P_n est constante égale à P₀
Si a < -1 -> P_n est décroissante, mais on va arriver dans ce cas à une fonction négative, ce qui ne va pas avec la contrainte

alain a écrit:

on cherche à conserver P_n > 0 ;   ∀ n